高中数学二项式中系数问题的求解策略

论文核心提示:

  二项式中的系数和二项式系数比较容易混淆,二项式系数有具体的规律,解决比较容易,而关于系数的求解是二项式中的重点和难点。这类题型的解题方法比较灵活,对观察力的要求也很高。现在就此类问题的解答技巧,谈几种常见的方法。
  一应用通项和组合,直接求解。
  例题1求 展开式中 的系数
  解法一:
   故展开式中含 的项为 故展开式中 的系数为240
  解法二:
  要使 指数为1,只有 才有可能,
  即
  故 的系数为
  解法三:
  由多项式的乘法法则,从以上5个括号中,一个括号内出现 ,其它四个括号出现常数项,则积为 的一次项,此时系数为
  剖析:此类问题通常有两个解法:化三项为二项,乘法法则及排列、组合知识的综合应用
  二 巧妙赋值,灵活求解。
  例题2若(1-2x)2009=a0+a1x+…+a2009x2009(x∈R),则a12+a222+…+a200922009的值为()
  A.2B.0C.-1 D.-2
  解析:.(1-2x)2009=a0+a1x+…+a2009x2009,令x=12,则(1-2×12)2009=a0+a12+a222+…+a200922009=0,其中a0=1,所以a12+a222+…+a200922009=-1. 选C
  例题3已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.
  (1)求x2的系数取最小值时n的值.
  (2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
  解析:(1)由已知Cm1+2Cn1=11,∴m+2n=11,
  x2的系数为Cm2+22Cn2=m(m-1)2+2n(n-1)=m2-m2+(11-m)(11-m2-1)=(m-214)2+35116.∵m∈N*,∴m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.
  (2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,
  ∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3.设这时f(x)的展开式为
  f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,
  令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,
  令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,
  两式相减得2(a1+a3+a5)=60,故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
  剖析:在对二项式进行赋值时,主要考虑如何赋值能得到所需要的系数,通常赋值有0、1、-1、12等不同的数值。
  三 适时转化,准确求解。
  例题4(1)求(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……(1+x)n中含x2的项的系数。
  (2)已知:(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+……a8x8 求:a0ɧ本文世纪论文网(www.21cnlunwen.com)提供64;+a1+a2+……a8的值
  解析:(1)解一:利用等比数列的求和,将原式转化为:
  【(1+x)n+1 – (1+x)】/x
  要得到含x2的项,则需要(1+x)n+1中得到含x3的项,所以其系数为Cn+13
   解二:也可以有第二个括号起,每个括号里取出含x2项后,合并 同类项得到结果:C22+C32+C42+……Cn2=Cn+13
  (2)解一:通过分析原题看出;a1,a3,a5,a7为负值,所以a0+a1+a2+……a8 = a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8 ,然后令x = -1 即可得到结果。
  解二:还可以将本题转化为这样一个问题:已知(1+2x)8=b0+b1x+b2x2+…… +b8x8 求:b0+b1+b2+…… +b8的值 ,此题和原来的题目结果是完全相等的,所以令x=1就得到答案。
  四 变量换元,简化求解。
  例题5若(1+2x)100=a0+a1(x-1)+a2•(x-1)2+…+a100(x-1)100,求a1+a3+a5+…+a99.
  解:令x-1=t,则x=t+1,于是已知恒等式可变为(2t+3)100=a0+a1t+a2t2+…+a100t100,
  又令f(t)=(2t+3)100,
  则a1+a3+a5+…+a99=12[f(1)-f(-1)]
  =12[(2+3)100-(-2+3)100]=12(5100-1).
  例题6若对于任意的实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为
  解析:.设x-2=t,则x=t+2,
  原式化为(2+t)3=a0+a1t+a2t2+a3t3,∴a2=C32•2=6,
   剖析:换元的主要目的是达到与标准二项式结构一样,更容易应用有关公式来计算。
  作者单位:山东寿光现代中学
  

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